গনিত যে একটা আনন্দ দায়ক বিষয় (!!!) এটা আমরা আমাদের প্রত্যাহিক কাজে বুঝতে পারি। একটি ছোট সমস্যার কথা বলিঃ

একটি বড় হল ঘরে ১০০ টা বাতি আছে এবং ১০০ টা সুইচ আছে। অর্থাৎ ১টা বাতির জন্যে ১টা সুইচ। সুবিধার জন্যে ধরে নিলাম প্রথম সুইচ এ প্রথম বাতি, ২য় সুইচ ২য় বাতি, .. .. ..

এবং ধরে নেই প্রথেমে সকল বাতি OFF। বলা হল ১ম জন সকল বাতি ON করবে, ২য় জন ২টা পর পর ( ২, ৪, ৬, ৮, .. ) বাতি OFF করবে। ৩য় জন ৩টা পর পর সুইচ পরিবর্তন করবে ( ON থাকলে OFF এবং OFF থাকলে ON করবে), ৪র্থ জন ৪টা পর পর সুইচ পরিবর্তন করবে, ৫ম জন ৫টা পর পর সুইচ পরিবর্তন করবে, .. .. এই ভাবে ১০০ তম জন শুধু ১০০ তম সুইচটি পরিবর্তন করবে।

এখন প্রশ্ন হল ৫০ তম বাতি কি ON/OFF থাকবে?


সমাধানঃ
সমাধান১:
১ম জন সব ON করবে, ২য় জন ২টা পর পর OFF করবে, ৩ য় জন , ৪র্থ জন,... এই ভাবে ৫০ তম জন কি করবে আমরা বের করতে পারি।

সমাধান২:
৫০ তম বাতি ON/OFF হবে সুধু মাত্র ১, ২, ৫, ১০, ২৫, ৫০ তম জন দ্বারা। কারন শুধু মাত্র এই সংখ্যা দ্বারা ৫০ বিভাজ্য তাই এদের দ্বারাই সুইচ পরিবর্তন হবে। তাহলে ১ম জন দ্বারা ON, ২য় জন দ্বারা OFF, ৫ম জন দ্বারা ON, ১০ জন দ্বারা OFF, ২৫তম জন দ্বারা ON, ৫০তম জন দ্বারা OFF হবে। আমরা বলতে পারি ৫০তম বাতি OFF থাকবে। শুধু মাত্র বিভাজ্য সংখ্যা গুলো বের করলে ই বলা যাবে ON/OFF।

সমাধান ৩:
একটু খেয়াল করলে দেখা যাবে, বিভাজ্য সংখ্যা যদি জোড় সংখ্যক হয় তাহলে ওই বাতি OFF থাকবে আর বিজোড় সংখ্যক থাকলে বাতিটি ON থাকবে।

এখন আমরা শুধু বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি (জোড় না বিজোড়) এটা বের করলেই যথেস্ট।

৫০ কে আমরা লিখতে পারিঃ
১ * ৫০,
২ * ২৫,
৫ * ১০

গুন বা নামতার নিয়ম অনুসারে বিভাজ্য গুলো জোড়া জোড়া করে আসে।

তাহলে বিভাজ্য গুলো জোড় সংখ্যক হবে?
না,..... যেমন ৪৯ এর সময়ঃ
১ * ৪৯,
৭ * ৭

এখানে বিভাজ্য ৩টি, কারন ৭ দুই বার আসছে। এই ঘটনা কখন কখন হতে পার? সংখ্যাটি যদি পূর্নবর্গ সংখ্যা হয়( ১,২,৪,৯,১৬,২৫,৪৯,৬৪,৮১,১০০)।

এই বাতি গুলো ON থাকবে।
[continue]