**পূর্বকথাঃ এটি গত ৯ অক্টোবর মাধ্যমিক শাখার ছাত্রদের জন্যে চট্টগ্রাম ম্যাথ সার্কেল আয়োজিত গণিত কর্মশালার বিষয়বস্তু নিয়ে তৈরি।
CHITTAGONG MATH CIRCLE
Mathematics Workshop 2009
Geometry - 1

ইউক্লিডের স্বীকার্যসমূহ:-

ইউক্লিড ছিলেন একজন গ্রীক গণিতবিদ, যার রচিত ১৩ খন্ডের ‘ইলিমেন্টস’ গ্রন্থটি দুই হাজার বছর ধরে জ্যামিতি শিক্ষায় প্রথম পাঠ্য হিসেবে ব্যবহৃত হয়ে চলেছে।

স্বীকার্য ১: একটি সরল রেখাংশ যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোগে অংকন করা যাবে।

স্বীকার্য ২: একটি সরল রেখাংশ অসীমভাবে বর্ধিত করে সরলরেখায় পরিণত করা যাবে।

স্বীকার্য ৩: একটি প্রদত্ত রেখাংশ থেকে একটি বৃত্ত অংকণ করা যাবে যার ব্যাসার্ধ হবে উক্ত রেখাংশটি এবং এর একপ্রান্ত বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।

স্বীকার্য ৪: সকল সমকোণ সমপাতিত হয়।

স্বীকার্য ৫: যদি দুটি রেখা অংকন করা হয় যা তৃতীয় কোন রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যাতে তাদের একইদিকের অন্তঃস্থ কোণগুলো দুই সমকোণের চেয়ে ছোট হয় তবে উক্ত রেখাদুটি অবধারিতভাবে পরষ্পরকে ছেদ করবে যদি তাদের উপযুক্ত পরিমাণে বর্ধিত করা হয়।

পীথাগোরাসের উপপাদ্য

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান।


উপরের চিত্রে, a^2 + b^2 = c^2 ।

পীথাগোরাসের উপপাদ্যের অনেক মজার প্রমাণ রয়েছে। এখানে খুব সহজ দুটি প্রমাণ দেখানো হল।

১.

(ভাস্করাচার্যের ‘লীলাবতী’ গ্রন্থ হতে) নিচের চিত্রে দুটি বর্গক্ষেত্রে সাদা অংশের ক্ষেত্রফল সমান। ফলে a^2 + b^2 = c^2 ।

২. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ব্যবহার করে আরেকটি প্রমাণঃ



প্রত্যেক ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2*a*b

মাঝের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (a - b)^2

পুরো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 4. 1/2*a*b + (a - b)^2

= a^2 + b^2

কিন্তু বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য c.

ফলে a^2 + b^2 = c^2 ।

“লীলাবতী”র পদ্ম সমস্যাঃ সারস আর হংসপূর্ণ সরোবরে/ জলতলের অর্ধহস্ত উপরে/ পদ্মকলি এক ঋজু সুঠাম দাঁড়ায়ে।/ অপরাহ্নের সমীরণ/ দেহে জাগায় কম্পন/ আদি অবস্থানের দুই হস্ত দূরে/ পরশে পদ্মকলি যায় নাড়িয়ে।/শুনলে এই বর্ণনা/ করো এবার গণনা/ জলের গভীরতা আর পদ্মের উচ্চতা।

পীথাগোরাসের উপপাদ্যের সম্প্রসারনঃ

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রেঃ যে কোন ত্রিভুজে সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুদ্বয়ের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যে কোন একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুন পরিমাণ কম।


উপরের চিত্রে উভয়ক্ষেত্রেই AB^2 = BC^2 + CA^2 – 2BC.CD .

[যারা ত্রিকোণমিতি জানোঃ cos C = CD / AC =>CD = AC cos C. ফলে, AB2 = BC2 + CA2 – 2BC.AC cos C . সাধারণভাবে, c2 = a2 + b2 + 2ab cos C, a^2 = b^2 + c^2 + 2bc cos A, b2 = a^2 + c^2 + 2ac cos B ইত্যাদি । এ সূত্রগুলোর সাহায্যে কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে যে কোন কোণ বের করা যায়।]

স্থূলকোণের ক্ষেত্রেঃ স্থূলকোণী ত্রিভুজে স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুদ্বয়ের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয় এবং ঐ দুই বাহুর যে কোন একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুনের সমষ্টির সমান।


উপরের চিত্রে AB^2 = BC^2 + CA^2 + 2BC.CD .

অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যঃ ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর উপরে অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর বর্গক্ষেত্র এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার উপর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির দ্বিগুন।


উপরের চিত্রে, AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2) ।

অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য ব্যবহার করে ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (a, b, c) জানা থাকলে মধ্যমাত্রয়ের দৈর্ঘ্য (d, e, f) বের করা যায়: ।

আরো দুটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কঃ

1. 3 (a^2 + b^2 + c^2) = 4(d^2 + e^2 + f^2) ।
2. 2(d^2 + e^2 + f^2) = 3c^2 (সমকোণী ত্রিভুজের জন্য)।

** পীথাগোরাস এবং এপোলোনিয়াসের উপপাদ্য সংক্রান্ত সমস্যা ৯ম-১০ম শ্রেণীর জ্যামিতি পাঠ্যপুস্তক হতে অনুশীলন করতে হবে।

অনুপাত সম্পর্কিত উপপাদ্য:

১. ত্রিভুজের যেকোন বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে বা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।

বিপরীত উপপাদ্য: কোন সরলরেখা একটি ত্রিভুজের দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে উক্ত সরলরেখা ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হবে।

২. ত্রিভুজের যে কোন কোণের অন্তর্দ্বিখন্ডক বিপরীত বাহুকে উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

সদৃশতা:

সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুইটি বহুভুজের একটির কোণগুলো যদি ধারাবাহিকভাবে অপরটির কোণগুলোর সমান হয়, তবে বহুভুজ দুইটিকে সদৃশ বলে।

সদৃশতা সংক্রান্ত উপপাদ্য:

উপপাদ্য ১: দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হবে।

উপপাদ্য ২: দুইটি ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে তাদের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হবে।

উপপাদ্য ৩: দুইটি ত্রিভুজের এক কোণ অপরটির সমান হলে এবং সমান কোণ সংলগ্ন বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ হবে।

সমস্যাসমূহ:

১. একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি। যদি এর প্রস্থ হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

২. কোন একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে । যদি হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।

৩. একটি চতুর্ভুজ।এর রেখায় দুইটি বিন্দু যাতে এবং CD রেখায় P ও Q দুইটি বিন্দু যাতে । প্রমাণ কর যে, ক্ষেত্রফল ।

৪. প্রমাণ কর যে, যদি কোন ত্রিভুজের দুটি মধ্যমা পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

৫. ABC ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় G বিন্দুতে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে, AB2 + BC^2+ CA^2 = 3(GA^2+ GB^2+ GC^2) ।