......... তত্ত্বঃ যদি কোন ফাংশন f(x) কোন বিন্দু a-তে অন্তরীত হয় তবে উক্ত ফাংশন a-বিন্দুটিতে চলমান। সরল তত্ত্বঃ আমরা যে কোন ফাংশন f(x) নিলাম। এখন আমরা ফাংশনটির ডোমেইনে যে কোন বিন্দু a নিলাম। বিন্দু a-তে আমরা ফাংশনটির মান f(a) হিসাবে পাই। আমরা জানি বিন্দু a-তে ফাংশনটি চলমান হবে যদি lim┬(x→a+)⁡〖f(x)〗 = lim┬(x→a-)⁡〖f(x)〗 = f(a) হয়।

এখন আলোচ্য তত্ত্বমতে আমরা লিমিটের ব্যাবহার না করেও বলতে পারি যে f(x) কে যদি অন্তরীত করার পরে আমরা যে f’(x) পাই সেখানে f’(a) যদি অস্তীত্ত্বশীল হয় অর্থাৎ f’(x)-এ x-এর মান a বসিয়ে যদি f’(a) এর জন্য কোন মান পাওয়া যায় তবে a বিন্দুটিতে f(x) ফাংশনটি চলমান। [f(x) এবং f'(x) এর মধ্যকার ' চিহ্নটি দ্রব্যষ্ট] উদাহরণঃ আমরা একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন f(x) = tan(x) নিই। এখন f(x) কে অন্তরীত করার পর আমরা পাই, f’(x) = sec^2(x). এখন 90 কোনে tan(x) কি চলমান? এর উত্তর খুজতে আমাদের tan(x) এর বাম লিমিট, ডান লিমিট, tan 90 কোনকিছুই খোজার দরকার নাই। আমরা শুধু দেখব f’(90)= sec^2(90) অস্তীত্ত্বশীল কিনা, অর্থাৎ sec^2(90) এর জন্য আমরা কোন মান পাই কিনা। আমরা জানি sec^2(90)=∞,অর্থাৎ আমরা কোন নির্দিষ্ট মান পাই নাই, অর্থাৎ 90-তে f’(x) অস্তীত্ত্বশীল নয়।

অতএব tan(x) ফাংশনটি 90 মানটিতে চলমান নয়। উপরের উদাহরণটি অনেকেরই মনপুত নাও হতে পারে। অনেকে বলবে tan(x) যে 90 –তে অস্তীত্ত্বশীল নয় এর জন্য এই তত্ত্বটির কোন প্রয়োজন নেই, সরাসরি tan(90) এর মান থেকেই তো দেখা যায় যে 90-তে tan(x) অস্তীত্ত্বশীল নয়। হ্যা, তা ঠিক। কিন্তু এমন কিছু ফাংশন আছে যার জন্য আমরা এভাবে সরাসরি মান বসিয়ে অস্তীত্ত্বশীলতার অনুপস্থিতি প্রমাণ করতে পারি না।

যেমন আরেকটি ফাংশন g(x)=sin( 1/x ) নিই। এখানে x-এর মান শুণ্য হলে g(x) এর মান কত হবে? শূন্য মানে অর্থাৎ যখন x=0^o হয় তখন g(x) এর মান কত হয়? x=0 বিন্দুটিতে কি g(x) চলমান? আমরা জানি যে sin ফাংশনটি এমন একটি ফাংশন যেখানে এর মান কখনই অসীম হবে না। sin ফাংশনের মান সবসময় +1 এবং -1 এর মাঝে থাকবে। অতএব x এর মান যাই হোক না কেন g(x) এর মান কখনই +1 বা -1 কে ছাড়িয়ে যাবে না বরং সবসময় +1 থেকে -1 এর ভিতর উঠানামা করবে। যেহেতু g(x) এর মান কখনই ∞ হচ্ছে না সেহেতু আবার সরাসরি x=0 বসিয়েও g(x) এর জন্য আমরা কোন নির্দিষ্টি মান খুজে পাচ্ছি না, তাহলে x=0 হলে অর্থাৎ 0-বিন্দুটিতে g(x) চলমান কিনা সেটা কিভাবে বের করব? এক্ষেত্রে আমাদের সাহায্য করবে আলোচ্য তত্ত্বটি।

আমরা g(x)-কে অন্তরীকরণ করে পাই g’(x) = -[cos(1/x)]/x^2 . এবার আমরা সহজেই x=0 বসিয়ে দেখি যে g’(0) এর জন্য আমরা কোন নির্দিষ্ট মান পাই না কেননা g’(x) এ cos(1/x) এর মান সবসময় +1 এবং -1 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলেও এই সীমাবদ্ধ সসীম মানকে যখন শুণ্য মানধারী x^2 দিয়ে ভাগ করা হবে তখন g’(0)=±∞ হবে, যা কোন নির্দিষ্ট মান নয়। অতএব g’(0) অস্তীত্ত্বশীল নয় এবং সেইহেতু 0 বিন্দুটিতে g(x) চলমান নয়। অতিরিক্ত কোন প্রশ্ন থাকলে প্রশ্ন করার আমন্ত্রণ রইল। ।